Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=-1，當n≥3，n∈N^*時，

an

n-1

-

an-1

n-2

=

3

(n-1)(n-2)

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在k∈N^*，使得n≥k時，不等式S_n+（2λ-1）a_n+8λ≥4對任意實數λ∈[0，1]恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，請說明理由．
（3）在x軸上是否存在定點A，使得三點Pn(an，2an+5)、Pm(am，2am+5)、Pk(ak，2ak+5)（其中n、m、k是互不相等的正整數且n＞m＞k≥2）到定點A的距離相等？若存在，求出點A及正整數n、m、k；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）構造新數列，利用疊加法，即可確定數列{a_n}的通項公式；
（2）先求和，進而將不等式等價變形，利用不等式對任意實數λ∈[0，1]恒成立，可得不等式組，從而可得結論；
（3）由題意，三點滿足方程y=2^x+5，函數為增函數，當n＞m＞k≥2時，0＜kPkPm＜kPnPm，從而對應垂直平分線的斜率k₁＜k₂＜0，故對應垂直平分線不可能相交于x軸，由此可得結論．

解答：解：（1）n≥3，n∈N^*時，設bn=

an

n-1

，則bn-bn-1=

3

(n-1)(n-2)

=3(

1

n-2

-

1

n-1

)
∴b_n=b₃+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）=b₃+3（

1

2

-

1

n-1

）
∵

an

n-1

-

an-1

n-2

=

3

(n-1)(n-2)

，∴

a3

2

-

a2

1

=

3

2

∵a₂=-1，∴b3=

a3

2

=

1

2

∴b_n=

1

2

+3（

1

2

-

1

n-1

）=

2n-5

n-1

（n≥3）
∴a_n=2n-5（n≥3）
n=2時，滿足上式；n=1時，不滿足上式
∴an=

1，n=1 2n-5，n≥2

；
（2）S_n=

1，n=1 n2-4n+4，n≥2

當n=1時，不等式S_n+（2λ-1）a_n+8λ≥4可化為λ≥

2

5

，不滿足條件；
當n≥2時，不等式S_n+（2λ-1）a_n+8λ≥4可化為2（2n-1）λ+n²-6n+5≥0
令f（λ）=2（2n-1）λ+n²-6n+5，則f（λ）≥0對任意實數λ∈[0，1]恒成立
∴

f(0)≥0 f(1)≥0

，∴

n2-6n+5≥0 n2-2n+3≥0

，∴n≤1或n≥5
∴滿足條件的k的最小值為5；
（3）由題意，三點滿足方程y=2^x+5，函數為增函數，當n＞m＞k≥2時，0＜kPkPm＜kPnPm
∴對應垂直平分線的斜率k₁＜k₂＜0
∴對應垂直平分線不可能相交于x軸
∴x軸上不存在定點A，使得三點Pn(an，2an+5)、Pm(am，2am+5)、Pk(ak，2ak+5)（其中n、m、k是互不相等的正整數且n＞m＞k≥2）到定點A的距離相等．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列通項的確定，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．