Question

（2012•四川）已知a為正實數，n為自然數，拋物線y=-x2+

an

2

與x軸正半軸相交于點A，設f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）求對所有n都有

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立的a的最小值；
（Ⅲ）當0＜a＜1時，比較

n

k=1

1

f(k)-f(2k)

與

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據拋物線y=-x2+

an

2

與x軸正半軸相交于點A，可得A（

an 2

，0），進一步可求拋物線在點A處的切線方程，從而可得f（n）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，則

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立的充要條件是aⁿ≥2n³+1，即知，aⁿ≥2n³+1對所有n成立，當a=

17

，n≥3時，aⁿ＞4ⁿ=（1+3）ⁿ＞2n³+1，當n=0，1，2時，(

17

)n≥2n3+1，由此可得a的最小值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，證明當0＜x＜1時，

1

x-x2

≥

27

4

x，即可證明：

n

k=1

1

f(k)-f(2k)

＞

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線y=-x2+

an

2

與x軸正半軸相交于點A，∴A（

an 2

，0）
對y=-x2+

an

2

求導得y′=-2x
∴拋物線在點A處的切線方程為y=-

2an

(x-

an 2

)，∴y=-

2an

x+an
∵f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距，∴f（n）=aⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，則

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立的充要條件是aⁿ≥2n³+1
即知，aⁿ≥2n³+1對所有n成立，特別的，取n=2得到a≥

17

當a=

17

，n≥3時，aⁿ＞4ⁿ=（1+3）ⁿ≥1+3

C

1 n

+9

C

2 n

+27

C

3 n

=1+2n³+

1

2

n[5(n-2)2+(2n-5)]＞2n³+1
當n=0，1，2時，(

17

)n≥2n3+1
∴a=

17

時，對所有n都有

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立
∴a的最小值為

17

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，下面證明：

n

k=1

1

f(k)-f(2k)

＞

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

首先證明：當0＜x＜1時，

1

x-x2

≥

27

4

x
設函數g（x）=

27

4

x（x²-x）+1，0＜x＜1，則g′（x）=

81

4

x（x-

2

3

）
當0＜x＜

2

3

時，g′（x）＜0；當

2

3

＜ x＜1時，g′（x）＞0
故函數g（x）在區間（0，1）上的最小值g（x）_min=g（

2

3

）=0
∴當0＜x＜1時，g（x）≥0，∴

1

x-x2

≥

27

4

x
由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此

1

ak-a2k

≥

27

4

ak，
從而

n

k=1

1

f(k)-f(2k)

=

1

a-a2

+

1

a2-a4

+…+

1

ak-a2k

≥

27

4

n

k=1

ak=

27

4

×

a-an+1

1-a

＞

27

4

×

a-an

1-a

=

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

點評：本題考查圓錐曲線的綜合，考查不等式的證明，考查導數的幾何意義，綜合性強，屬于中檔題．