Question

選修4-4：坐標系與參數方程選講．
在極坐標系中，O為極點，半徑為2的圓C的圓心的極坐標為（2，

π

3

）．
（1）求圓C的極坐標方程；
（2）在以極點O為原點，以極軸為x軸正半軸建立的直角坐標系中，直線l（3）的參數方程為

x=1+ 1 2 t y=-2+ 3 2 t

（t為參數），直線l與圓C相交于A，B兩點，已知定點M（1，-2），求|MA|•|MB|．

Answer 1

分析：（1）設點P（ρ，θ）是圓C上的任意一點，根據|OP|=2|OC|cos∠COP 求得圓C的極坐標方程．
（2）先求出圓C的直角坐標方程，把直線l的參數方程與圓的方程聯立方程組，化為關于t的一元二次方程，
利用根與系數的關系以及參數的幾何意義，求出|MA|•|MB|．

解答：解：（1）設點P（ρ，θ）是圓C上的任意一點，則在△COP中，OC=2，OP=ρ，∠COP=|θ-

π

3

|．
而|OP|=2|OC|cos∠COP，∴ρ=4cos（θ-

π

3

），即為所求的圓C的極坐標方程．
（2）圓心的直角坐標為（2cos

π

3

，2sin

π

3

），即 C（1，

3

），故圓C的直角坐標方程為 （x-1）²+（y-

3

）²=4．
把直線l的參數方程與圓的方程聯立方程組，化簡可得 t²-（3+2

3

）t+4

3

=0，∴t₁•t₂=3+4

3

．
再根據參數的幾何意義可得|MA|•|MB|=|t₁•t₂|=3+4

3

．

點評：本題主要考查點的極坐標與直角坐標的互化，一元二次方程根與系數的關系，參數的幾何意義，屬于基礎題．