Question

設數列{a_n}是公差大于零的等差數列，已知a₁=2，a₃=a₂²-10．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}是以函數f（x）=4sin²πx的最小正周期為首項，以3為公比的等比數列，求數列{a_n•b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

（1）設{a_n}的公差為d，d＞0，
∵a₁=2，a₃=a₂²-10，
∴

a1=2 a1+2d=(a1+d)2-10

，解得a=2或d=-4（舍）．（5分）
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．（6分）
（2）∵y=4sin²πx=4×

1-cos2πx

2

=-2cos2πx+2，
其最小正周期為

2π

2π

=1，
∴首項為b₁=1．（7分）
∵公比為q=3，從而bn=3n-1，
∴a_n•b_n=2n•3^n-1，（8分）
∴S_n=2•3⁰+4•3+6•3²+…+2n•3^n-1，①
3S_n=2•3+4•3²+6•3³+…+2n•3ⁿ，②
①-②，得：-2S_n=2+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-2n•3ⁿ
=2+2×

3(1-3n-1)

1-3

-2n•3ⁿ
=2+3ⁿ-3-2n•3ⁿ，
∴S_n=

(2n-1)•3n+1

2

．（12分）