Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，，分別是，的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）求證：平面；

（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）由直三棱柱側棱與底面垂直可得，結合已知，得到平面，從而得到平面平面；

（2）取的中點，連接，．由三角形中位線定理可得，且，得到四邊形為平行四邊形，進一步得到．由線面平行的判定得到平面；

（3）由已知求解直角三角形得到，求得底面積，代入三棱錐體積公式求得三棱錐的體積．

解析：（1）證明：在三棱柱中，

底面，所以.

又因為，，

所以平面，

又平面，

所以平面平面

（2）證明：取的中點，連接，.

因為，，分別是，，的中點，

所以，且，.

因為，且，所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以.

又因為平面，平面，所以平面.

（3）因為，，，所以.

所以三棱錐的體積

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