Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其右焦點到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過作兩條互相垂直的直線，是與橢圓的兩個交點，是與橢圓的兩個交點，分別是線段的中點，試判斷直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點.請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點

【解析】

（1）由題意得，求出，即可求出橢圓方程；

（2）設直線的方程為，①當時，聯立方程組，化簡可得

，進而求出，同理可得，進而求出，求出直線的方程，求出必過的定點；②當時，易知直線過定點；綜上即可求出結果.

解：（1）由題意得，∴，

∴橢圓的方程為；

（2）由（1）得，設直線的方程為，點的坐標分別為，

①當時，由，得，

∴，∴

同理，由，可得

∴直線的方程為，過定點；

②當時，則直線的方程為，

∴直線過定點

綜上，直線過定點.