Question

如圖所示，在三棱錐S—ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分別交AC、SC于D、E.又SA＝AB，SB＝SC.求以BD為棱，以BDE與BDC為面的二面角的度數.

Answer 1

解析:

解法一：由于SB＝BC，且E是SC中點，因此BE是等腰三角形SBC的底邊SC的中線，所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，

∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD，

又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，∴SA⊥BD.

而SA∩SC＝S，所以BD⊥平面SAC.

∵DE＝平面SAC∩平面BDE，DC＝平面SAC∩平面BDC，

∴BD⊥DE，BD⊥DC.∴∠EDC是所求二面角的平面角.

∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.

設SA＝a,則AB＝a,BC＝SB＝a.

又AB⊥BC，所以AC＝a.在RtΔSAC中tg∠ACS＝＝，所以∠ACS＝30°.

又已知DE⊥SC，所以∠EDC＝60°，即所求的二面角等于60°.

解法二：由于SB＝BC，且E是SC的中點，因此BE是等腰ΔSBC的底邊SC的中線，所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E.∴SC⊥平面BDE，SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC，且A是垂足，所以，AC是SC在平面ABC上的射影，由三垂線定理的逆定理得BD⊥AC；又E∈SC，AC是SC在平面內的射影，所以E在平面ABC內的射影在AC上，由于D∈AC，所以DE在平面ABC內的射影在AC上，根據三垂線定理得BD⊥DE.

∵DE平面BDE，DC平面BDC.∴∠EDC是所求二面角的平面角.以下解法同解法一.