Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分別是棱B₁C₁、B₁B₁、C₁D₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CF⊥平面EAB；
（Ⅱ）是否存在過E、M點(diǎn)且與平面A₁FC平行的平面？若存在，請(qǐng)指出并證明之；若不存在，請(qǐng)說明
理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證CF⊥平面EAB，可證CF⊥BE，CF⊥AB，其中CF⊥BE可由△BB₁E≌△BCF得到∠B₁BE=∠BCF，從而∠BCF+∠EBC=90°，根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行判定即可；
（2）先找出符合題意的平面，然后進(jìn)行證明，欲證平面EMN∥平面A₁FC，根據(jù)面面平行的判定定理可知只需在一個(gè)平面內(nèi)找兩相交直線與另一平面平行，而EN∥平面A₁FC，MN∥平面A₁FC，EN∩MN=N，滿足定理?xiàng)l件．

解答：（I）證明：在正方形B₁BCC₁中，∵E、F分別為B₁C₁、B₁B的中點(diǎn)，
∴△BB₁E≌△BCF，∴∠B₁BE=∠BCF，
∴∠BCF+∠EBC=90°，∴CF⊥BE
又AB⊥平面B₁BCC₁，CF?平面B₁BCC₁，∴AB⊥CF，
又∵AB∩BE=B，∴CF⊥平面EAB．
（II）設(shè)N是棱C₁C上的一點(diǎn)，且C₁N=

1

4

C₁C，
則平面EMN為符合要求的平面．
證明如下：
設(shè)H為棱C₁C的中點(diǎn)，∵C₁N=

1

4

C₁C，
∴C₁N=

1

2

C₁H，又E為B₁C₁的中點(diǎn)，∴EN∥B₁H，
又CF∥B₁H，∴EN∥CF，∴EN∥平面A₁FC
同理MN∥D₁H，D₁H∥A₁F，
∴MN∥A₁F，∴MN∥平面A₁FC．
EN∩MN=N，∴平面EMN∥平面A₁FC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及平面與平面平行的判定，這種題型是高考的趨勢(shì)，屬于基礎(chǔ)題．