Question

（本小題滿分15分）過曲線C：外的點A（1，0）作曲線C的切線恰有兩條，
（Ⅰ）求滿足的等量關系；
（Ⅱ）若存在，使成立，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

試題分析：（Ⅰ），
過點A（1，0）作曲線C的切線，設切點，則切線方程為：
將代入得：
即（*）   ……………………………………………………5分
由條件切線恰有兩條，方程（*）恰有兩根。
令，，顯然有兩個極值點x＝0與x＝1，
于是或
當時，；
當時， ，此時經過（1，0）與條件不符
所以           …………………………………………………………………8分
（Ⅱ）因為存在，使，即
所以存在，使，得，即成立
設，問題轉化為的最大值…………………………10分
，
，令得，
當時此時為增函數，當時，此時為減函數，
所以的最大值為
，的最大值，得
所以在上單調遞減，
因此。       ……………………………………………………15分
點評：①求曲線的切線問題常利用導數的幾何意義：在切點處的導數值為曲線的切線斜率，但要注意“在某點的切線”與“過某點的切線”的區別。②解決不等式恒成立問題或者存在性問題，常采用分離參數法轉化為求函數的最值問題。