Question

有冪函數y＝(α≠0)若干個，每個函數至少具有下面三條性質之一：

(1)是奇函數；

(2)是(－∞，＋∞)內的增函數；

(3)函數的圖象經過原點．

又已知同時具有性質(1)的共有15個，具有性質(2)的共有12個，具有性質(3)的共有18個，試問，這些冪函數共有幾個？其中冪指數小于零的有幾個？

Answer 1

答案：
解析：

解：由冪函數的性質知，在(－∞，＋∞)內的增函數一定是奇函數，且圖象一定過原點． 　　又若一個函數是奇函數，且其圖象又經過原點，則這個函數一定是在(－∞，＋∞)上的增函數． 　　設這些冪函數中分別具備性質(1)(2)(3)的函數分別構成集合A、B、C，而冪指數小于零的構成集合D，依題意得 　　 　　即共有冪函數21個． 　　又冪指數小于零的冪函數圖象一定不經過原點，反之亦然，故其中冪指數小于零的函數有21－18＝3個．

提示：

充分考慮冪函數的性質，合理運用集合理論解題．