Question

設函數y=f（x）（x∈R，且x≠0），對任意非零實數x₁、x₂滿足f（x₁+x₂）=f（x₁x₂），
（1）求f（1）+f（-1）的值；　
（2）判斷函數y=f（x）的奇偶性；
（3）已知y=f（x）在（0，+∞）上為增函數且f（4）=1，解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

Answer 1

解：（1）分別令x₁=x₂=1，x₁=x₂=-1代入可得f（1）=0，f（-1）=0
∴f（1）+f（-1）=0
（2）∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）為偶函數
（3）∵f（4）=1，
∴f（64）=3f（4）=3
故原不等式可化為f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）
∴-64≤（3x+1）（2x-6）≤64且（3x+1）（2x-6）≠0
解得：．
分析：（1）先令x₁=x₂=1，x₁=x₂=-1求得f（1）=0，f（-1）=0即可；
（2）由（1）得f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），即f（-x）=f（x），從而得到f（x）為偶函數；
（3）根據題意，不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3可化為f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64），然后-64≤（3x+1）（2x-6）≤64且（3x+1）（2x-6）≠0即可求出實數x的取值范圍．
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．