Question

在一次電視節目的搶答中，題型為判斷題，只有“對”和“錯”兩種結果，其中某明星判斷正確的概率為p，判斷錯誤的概率為q，若判斷正確則加1分，判斷錯誤則減1分，現記“該明星答完n題后總得分為S_n”．
（1）當p=q=

1

2

時，記ξ=|S₃|，求ξ的分布列及數學期望及方差；
（2）當p=

1

3

，q=

2

3

時，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知變量的可能取值是1，3，結合變量對應的事件和獨立重復試驗的概率公式寫出變量對應的概率和分布列，做出期望和方差．
（2）本題要求的概率是答完8題后，回答正確的題數為5題，回答錯誤的題數是3題，包括若第一題和第二題回答正確，則其余6題可任意答對3題；和若第一題正確和第二題回答錯誤，第三題回答正確，則后5題可任意答對3題，兩種情況，寫出概率．

解答：解：（1）∵ξ=|S₃|的取值為1，3，又p=q=

1

2

；
∴P(ξ=1)=2

C

1 3

(

1

2

)•(

1

2

)2=

3

4

，
P(ξ=3)=(

1

2

)3+(

1

2

)3=

1

4

．
∴ξ的分布列為：

∴Eξ=1×

3

4

+3×

1

4

=

3

2

；
Dξ=

3

4

×(1-

3

2

)2+

1

4

×(3-

3

2

)2=

3

4

（2）當S ₈=2時，即答完8題后，回答正確的題數為5題，回答錯誤的題數是3題，
又已知S_i≥0（i=1，2，3，4），若第一題和第二題回答正確，則其余6題可任意答對3題；
若第一題正確，第二題回答錯誤，第三題回答正確，則后5題可任意答對3題．
此時的概率為P=(

C

3 6

+

C

3 5

)•(

1

3

)5•(

2

3

)3=

30×8

38

=

80

37

(或

80

2187

)．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．