Question

形狀如圖所示的三個游戲盤中(圖①是正方形，M，N分別是所在邊中點，圖②是半徑分別為2和4的兩個同心圓，O為圓心，圖③是正六邊形，點P為其中心)各有一個玻璃小球，依次搖動三個游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲．

(1)一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分的概率是多少？
(2)用隨機變量X表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件數與小球沒有停在陰影部分的事件數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列．

Answer 1

（1）（2）X的分布列為

X	1	3
P

 

(1)“一局游戲后，這三個盤中的小球停在陰影部分”分別記為事件A₁，A₂，A₃.
由題意知，A₁，A₂，A₃互相獨立，且P(A₁)＝，P(A₂)＝，P(A₃)＝，所以“一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分”的概率為P(A₁A₂A₃)＝P(A₁)P(A₂)·P(A₃)＝××＝.
(2)一局游戲后，這三個盤中的小球停在陰影部分的事件數可能是0,1,2,3，相應的小球沒有停在陰影部分的事件數可能取值為3,2,1,0，所以X可能的取值為1,3.
由分析可得P(X＝3)＝P(A₁A₂A₃)＋P(₁₂₃)＝P(A₁)·P(A₂)P(A₃)＋P(₁)P(₂)P(₃)＝××＋××＝；P(X＝1)＝1－＝.
所以X的分布列為

X	1	3
P