Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，a₃=3且S₅-2a₁=17．等比數列{b_n}中，b₁=a₂，b₂S₃=6．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設c_n=a_n+1b_n，設T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據等差數列的性質和條件求出S₅的值，代入條件中的式子求出首項和公差，再代入等差數列的通項公式a_n化簡，再由等比數列的通項公式和條件求出公比，代入等比數列的通項公式求出b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和條件求出c_n的代數式，利用錯位相減法求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差數列{a_n}中的a₃=3，
∴S₅=

5(a1+a5)

2

=5a₃=15，
代入S₅-2a₁=17得，a₁=-1，由a₃=3得，公差d=2，
則a_n=-1+2（n-1）=2n-3，
∵b₁=a₂，b₂S₃=6，
∴b₁=1，且3b₂=6，得b₂=2，即公比q=2，
則b_n=2^n-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c_n=a_n+1b_n=（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）2^n-1，①
則2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）2^n-1+（2n-1）2ⁿ，②
①-②得，-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）2ⁿ
=1+2×

2(1-2n-1)

1-2

）-（2n-1）2ⁿ=（3-2n）2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ+3．

點評：本題考查了等差數列的性質、通項公式，等比數列的通項公式、前n項和公式，以及錯位相減法求數列的和，關鍵是判斷出數列的通項公式的特點，再利用錯位相減法求數列的和，這是高考常考的題型．