Question

甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為

2

3

，乙在每局中獲勝的概率為

1

3

，且各局勝負相互獨立，求比賽停止時已打局數(shù)ξ的期望Eξ．

Answer 1

分析：由題意比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止，所以隨機變量ξ的所有可能的取值為2，4，6，利用隨機變量的定義及獨立事件同時發(fā)生的概率公式求出每一個隨機變量取值時對應(yīng)的隨機事件的概率，在有離散型隨機的期望公式求出期望．

解答：解：依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6，
設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為(

2

3

)2+(

1

3

)2=

5

9

．
若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響．從而有P(ξ=2)=

5

9

，P(ξ=4)=(

4

9

)(

5

9

)=

20

81

，P(ξ=6)=(

4

9

)2=

16

81

，
故Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．

點評：此題屬于隨機變量的基本題型．重在考查學(xué)生對于題意的準(zhǔn)確理解，以及對于隨機變量的定義的理解及獨立事件及其公式的準(zhǔn)確理解及應(yīng)用，此外還考查了期望的定義．