Question

如圖，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是雙曲線的焦點(diǎn)，M是∠F₁PF₂的平分線上一點(diǎn)，且．某同學(xué)用以下方法研究|OM|：延長(zhǎng)F₂M交PF₁于點(diǎn)N，可知△PNF₂為等腰三角形，且M為F₂M的中點(diǎn)，得．類似地：P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的焦點(diǎn)，M是∠F₁PF₂的平分線上一點(diǎn)，且．則|OM|的取值范圍是     ．

Answer 1

【答案】分析：橢圓與雙曲線都是平面上到定點(diǎn)和定直線距離之比為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，故他們的研究方法、性質(zhì)都是相似之處，我們由題目中根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，探究|OM|值方法，類比橢圓的性質(zhì)，推斷出橢圓中|OM|的取值范圍．
解答：解：延長(zhǎng)F₂M交PF₁于點(diǎn)N，可知△PNF₂為等腰三角形，
且M為F₂M的中點(diǎn)，
則=a-|F₂M|
∵a-c＜|F₂M|＜a
故0＜|OM|＜c=
故|OM|的取值范圍是
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．