Question

已知數列{a_n}：a₁a₂，…，a_n（0≤a₁≤a₂…≤a_n），n≥3時具有性質P：對任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數中至少有一個是該數列中的一項，現給出以下四個命題：
①數列0，1，3具有性質P；         ②數列0，2，4，6具有性質P；
③數列{a_n}具有性質P，則a₁=0；    ④若數列a₁，a₂，a₃（0≤a₁＜a₂＜a₃）具有性質P，則a₁+a₃=2a₂．
其中真命題的序號為

②③④

．（所有正確命題的序號都寫上）

Answer 1

分析：根據數列：a₁，a₂，…a_n（0≤a₁＜a₂…＜a_n），n≥3時具有性質P，對任意i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數中至少有一個是該數列中的一項，逐一驗證，可知①錯誤，其余都正確．

解答：解：∵對任意i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數中至少有一個是該數列中的項，
①數列0，1，3中，a₂+a₃=1+3=4和a₃-a₂=3-1=2都不是該數列中的數，故①不正確；
②數列0，2，4，6，a_j+a_i與a_j-a_i（1≤i≤j≤3）兩數中都是該數列中的項，
并且a₄-a₃=2是該數列中的項，故②正確；
③若數列{a_n}具有性質P，去數列{a_n}中最大項a_n，則a_n+a_n=2a_n與a_n-a_n=0兩數中至少有一個是該數列中的一項，而2a_n不是該數列中的項，
∴0是該數列中的項，
又由0≤a₁≤a₂…≤a_n，
∴a₁=0；故③正確；
④∵數列a₁，a₂，a₃具有性質P，0≤a₁＜a₂＜a₃，
∴a₁+a₃與a₃-a₁至少有一個是該數列中的一項，且a₁=0，
1°若a₁+a₃是該數列中的一項，則a₁+a₃=a₃，
∴a₁=0，易知a₂+a₃不是該數列的項
∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂．
2°若a₃-a₁是該數列中的一項，則a₃-a₁=a₁或a₂或a₃，
①若a₃-a₁=a₃同1°，
②若a₃-a₁=a₂，則a₃=a₂，與a₂＜a₃矛盾，
③a₃-a₁=a₁，則a₃=2a₁，
綜上a₁+a₃=2a₂．故④正確．
故答案為：②③④．

點評：考查數列的綜合應用，此題能很好的考查學生的應用知識分析、解決問題的能力，側重于對能力的考查，屬中檔題．