Question

湘西山區的某種特產由于運輸的原因，長期只能在當地銷售，當地政府對該項特產的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤P=-

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160

(x-40)2+100萬元．當地政府擬在新的十年發展規劃中加快發展此特產的銷售，其規劃方案為：在規劃前后對該項目每年都投入60萬元的銷售投資，在未來10年的前5年中，每年都從60萬元中撥出30萬元用于修建一條公路，5年修成，通車前該特產只能在當地銷售；公路通車后的5年中，該特產既在本地銷售，也在外地銷售，在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤Q=-

159

160

(60-x)2+

119

2

(60-x)萬元．問從10年的累積利潤看，該規劃方案是否可行？

Answer 1

分析：由已知中每投入x萬元，可獲得利潤P=-

1

160

(x-40)2+100萬元，可知每年只須投入40萬，可獲得最大利潤100萬元，進而求出10年的總利潤W₁，又由前5年中，每年都從60萬元中撥出30萬元用于修建一條公路，由在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤Q=-

159

160

(60-x)2+

119

2

(60-x)萬元，則我們可得前5年的本地銷售利潤和，及外地銷售利潤和，累加后與W₁相比較，即可判斷出該規劃方案是否可行．

解答：解：在實施規劃前，由題設P=-

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160

(x-40)2+100（萬元），
知每年只須投入40萬，即可獲得最大利潤100萬元．
則10年的總利潤為W₁=100×10=1000（萬元）．            
實施規劃后的前5年中，
由題設P=-

1

160

(x-40)2+100知，每年投入30萬元時，有最大利潤Pmax=

795

8

（萬元）．
前5年的利潤和為

795

8

×5=

3975

8

（萬元）．                       （6分）
設在公路通車的后5年中，每年用x萬元投資于本地的銷售，而用剩下的（60-x）萬元于外地區的銷售投資，則其總利潤為W2=[-

1

160

(x-40)2+100]×5+(-

159

160

x2+

119

2

x)×5=-5（x-30）²+4950．  （10分）
當x=30時，W₂|_max=4950（萬元）．
從而10年的總利潤為

3975

8

+4950（萬元）．                       （12分）
∵

3975

8

+4950＞1000，故該規劃方案有極大實施價值．             （13分）

點評：本題考查的知識點是根據實際問題選擇函數類型，其中將該規劃方案是否可行轉化為兩種投資方式的利潤之比，進而轉化為函數最值的比較，是解答本題的關鍵．