Question

開口向下的拋物線y=ax²+bx（a＜0，b＞0）在第一象限內與直線x+y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S=

b3

6a2

．
（1）求a與b的關系式，并用b表示S（b）的表達式；
（2）求使S（b）達到最大值的a、b值，并求S_max．

Answer 1

分析：（1）直線x+y=4與拋物線y=ax²+bx相切，即它們有唯一的公共點，聯立方程，利用判別式必須為0，確定a與b的關系式，代入S=

1

6a2

b3，即可用b表示S（b）的表達式；
（2）求導數，確定函數的單調性，可求函數的極值與最值，即可得到結論．

解答：解：（1）依題設可知拋物線開口向下，且a＜0，b＞0，
直線x+y=4與拋物線y=ax²+bx相切，即它們有唯一的公共點，
由方程組

x+y=4 y=ax2+bx

得ax²+（b+1）x-4=0，其判別式必須為0，即（b+1）²+16a=0．
∴a=-

1

16

(b+1)2，代入S=

1

6a2

b3得：S(b)=

128b3

3(b+1)4

，(b＞0)；
（2）S′(b)=

128b2(3-b)

3(b+1)5

；
令S'（b）=0，在b＞0時得b=3，且當0＜b＜3時，S'（b）＞0；當b＞3時，S'（b）＜0，
故在b=3時，S（b）取得極大值，也是最大值，
即a=-1，b=3時，S取得最大值，且Smax=

9

2

．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查導數知識的運用，確定函數關系式是關鍵．