Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，E、F、G分別是DD₁、AB、CC₁的中點，則異面直線A₁E與GF所成的角是（　　）

• A、arccos

  15

  5

• B、

  π

  4

• C、arccos

  10

  5

• D、

  π

  2

Answer 1

分析：先找或作異面直線所成的角，由A₁E∥B₁G，得到∠B₁GF為異面直線所成角，分別求得FG=

3

，B₁G=

2

，B₁F=

5

再求解．

解答：解：連接B₁G，EG，由于E、G分別是DD₁和CC₁的中點，∴EG∥C₁D₁，而C₁D∥A₁B₁，
∴EG∥A₁B₁，
∴四邊形EGB₁A₁是平行四邊形．
∴A₁E∥B₁G，從而∠B₁GF為異面直線所成角，
連接B₁F，則FG=

3

，B₁G=

2

，B₁F=

5

，
由FG²+B₁G²=B₁F²，
∴∠B₁GF=

π

2

即異面直線A₁E與GF所成的角為

π

2

．
故選D．

點評：本題主要考查求異面直線所成的角，用幾何法要先從圖中找或作出角來，再用余弦定理求解．