Question

如圖，過曲線：上一點(diǎn)作曲線的切線交軸于點(diǎn)，又過作 軸的垂線交曲線于點(diǎn)，然后再過作曲線的切線交軸于點(diǎn)，又過作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，，以此類推，過點(diǎn)的切線 與軸相交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn)（N）．

(1) 求、及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2) 設(shè)曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為，求的表達(dá)式；
(3) 在滿足(2)的條件下, 若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：N.

Answer 1

(1) 解:由，設(shè)直線的斜率為，則.
∴直線的方程為.令，得，          ……2分
∴， ∴.
∴.
∴直線的方程為.令，得.        ……4分
一般地，直線的方程為，
由于點(diǎn)在直線上，
∴.
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.
∴.                                             ……6分
（2）解：
.      ……8分
（3）證明：.…10分
∴，.
要證明，只要證明，即只要證明。 11分
證法1：（數(shù)學(xué)歸納法）
① 當(dāng)時(shí)，顯然成立；
② 假設(shè)時(shí)，成立，
則當(dāng)時(shí)，，
而.
∴.
∴.
這說明，時(shí)，不等式也成立.
由①②知不等式對一切N都成立.       ……14分
證法2:
.
∴不等式對一切N都成立.       ……14分
證法3:令,
則,
當(dāng)時(shí), ,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.
∴當(dāng)時(shí), .
∵N,
∴, 即.
∴.
∴不等式對一切N都成立.  

略