Question

已知函數f（x）=log₂x
（Ⅰ）若f（x）的反函數是函數y=g（x），解方程g（2x）=2g（x）+10；
（Ⅱ）對于任意a、b、c∈[M，+∞），M＞1且a≥b≥c．當a，b，c能作為一個三角形的三邊長時，f（a）、f（b）、f（c）也總能作為某個三角形的三邊長，試分別探究下面兩個問題：
（1）當1＜M＜2時，是否存在a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，當a、b、c能作為一個三角形的三邊長時，以f（a）、f（b）、f（c）不能作為三角形的三邊長．
（2）M≥2，證明：對于任a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，當a、b、c能作為一個三角形的三邊長時，f（a）、f（b）、f（c）總能作為三角形的三邊長．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數f（x）的反函數y=g（x），直接求解方程g（2x）=2g（x）+10，即可；
（Ⅱ）設存在a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，當a、b、c能作為一個三角形的三邊長時，以f（a）、f（b）、f（c）能作為三角形的三邊長．求出M的最小值，即可說明（1）成立，同時說明（2）M≥2，對于任a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，當a、b、c能作為一個三角形的三邊長時，f（a）、f（b）、f（c）總能作為三角形的三邊長．
解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的反函數y=g（x）=2^x，由g（2x）=2g（x）+10
可得：2^2x=2×2^x+10，解得2^x=1±，
∴x=log₂（1）
（Ⅱ）由題意知，c+b＞a
∵f（a），f（b），f（c）能作為某個三角形的三邊長，
∴log₂c+log₂b＞log₂a，
∴bc＞a（2分）
∵bc≥b+c，
∴（b-1）（c-1）≥1
當b≥2，c≥2時，有（b-1）（c-1）≥1成立，則一定有bc＞a成立．
∵log₂c＞0，
∴c＞1，即0＜M≤1不合題意．
又當1＜M＜2時，取b=M，c=M，a=M²，有M+M＞M²，即b+c＞a，
此時a，b，c可作為一個三角形的三邊長，但log₂M+log₂M=2log₂M=log₂M²，
即f（b）+f（c）=f（a），所以f（a）、f（b）、f（c）不能作為三角形的三邊長．
綜上所述，M的最小值為2．
所以（1）當1＜M＜2時，不存在a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，當a、b、c能作為一個三角形的三邊長時，以f（a）、f（b）、f（c）不能作為三角形的三邊長．
（2）M≥2，時對于任a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，當a、b、c能作為一個三角形的三邊長時，f（a）、f（b）、f（c）總能作為三角形的三邊長．
點評：本題考查函數與方程的綜合應用，函數的基本性質的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．