Question

(07年全國卷Ⅱ理)（12分）已知函數f(x)=x³－x

（1）求曲線y=f(x)在點M(t, f(t))處的切線方程

（2）設a>0,如果過點（a, b）可作曲線y=f(x)的三條切線，證明：－a

Answer 1

解析：（1）求函數的導數；．

       曲線在點處的切線方程為：

              ，

       即    ．

（2）如果有一條切線過點，則存在，使

       ．

于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程

      

有三個相異的實數根．

記    ，

則   

               ．

當變化時，變化情況如下表：

		0
		0		0
	極大值		極小值

由的單調性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數根；

當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數根；

當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數根．

綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數根，則

即    ．