Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長(zhǎng)都相等，P為A₁B上的點(diǎn)，，且PC⊥AB．
（1）求λ的值；
（2）求異面直線PC與AC₁所成角的余弦值．

Answer 1

解：（1）設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則：A（0，-1，0），，C（0，1，0），A₁（0，-1，2），
，C₁（0，1，2），
∴，，，
∵PC⊥AB，
∴，，，
（2）由（1）知：，，，
∴異面直線PC與AC₁所成角的余弦值是．
分析：（1）設(shè)出正三棱柱的棱長(zhǎng)，以底面上一邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出要用的各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量的垂直關(guān)系，要求的實(shí)數(shù)的值．
（2）在兩條異面直線上構(gòu)造兩個(gè)向量，根據(jù)兩個(gè)向量的坐標(biāo)，寫(xiě)出兩個(gè)向量的夾角的余弦，是一個(gè)負(fù)值，根據(jù)異面直線所成的角是不大于90°的角，得到余弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用空間向量解決立體幾何中的夾角和距離的問(wèn)題，是一個(gè)典型的題目，解題的關(guān)鍵是要用的點(diǎn)的坐標(biāo)比較多，寫(xiě)起來(lái)比較繁瑣，注意不要出錯(cuò)．