Question

下列說法：①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，+a+4]）是偶函數，則實數b=2；②f（x）=既是奇函數又是偶函數；③已知f（x）是定義在R上的奇函數，若當x∈[0，+∞]時，f（x）=x（1+x），則當x∈R時，f（x）=x（1+|x|）；④已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對任意的x，y∈R都滿足f=x•f（y）+y•f（x），則f（x）是奇函數．其中所有正確命題的序號是     ．

Answer 1

【答案】分析：①由f（x）x∈[2a-1，a+4]是偶函數，則定義域關于原點對稱，再由f（-x）=f（x）求解；
②將函數化簡得：f（x）=0，x∈R，結論可知．
③設x＜0，由-x＞0，代入x∈[0，+∞]時，f（x）=x（1+x），再由f（x）是奇函數求解．
④通過賦值法，求得相應函數值，來尋求f（-x）與f（x）關系．
解答：解：①∵f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數，
則2a-1+a+4=0得a=-1，又∵f（-x）=f（x）可解得b=2；故①正確．
②將函數化簡得：f（x）=0，x∈R，∴既是奇函數又是偶函數；故②正確．
③設x＜0，由-x＞0，又∵當x∈[0，+∞]時，f（x）=x（1+x）
∴f（-x）=-x（1-x），
又∵f（x）是定義在R上的奇函數
f（x）=-f（-x）=x（1-x）
∴當x∈R時，f（x）=x（1+|x|）；故③正確．
④令x=y=0，得f（0）=0
再令x=1，y=-1，得f（-1）=f（-1）-f（1）
∴f（1）=0
再令x=y=-1，得f（1）=-f（1）-f（-1）
∴f（-1）=0
再令y=-1
得f（-x）=xf（-1）-f（x）
則，f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函數．故④正確．
故答案為：①②③④
點評：本題主要考查函數的奇偶性的判斷及其應用，涉及到定義，要注意關于原點對稱，涉及到求解析式，要注意求哪區間上的解析式，要在哪個區間上設變量．