Question

如圖，在棱長都相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別為AA₁，B₁C的中點．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B₁C⊥平面BDE．

Answer 1

證明：（1），
∵G，E分別為CB，CB₁的中點，
∴EG∥BB₁，且，
又∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴EG∥AD，EG=AD
∴四邊形ADEG為平行四邊形．
∴AG∥DE
∵AG?平面ABC，DE?平面ABC，
所以 DE∥平面ABC．
（2）由可得，取BC中點G
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴BB₁⊥平面ABC．
∵AG?平面ABC，
∴AG⊥BB₁，
∵G為BC的中點，AB=AC，
∴AG⊥BC∴AG⊥平面BB₁C₁C，
∵B₁C?平面BB₁C₁C，
∴AG⊥B₁C，
∵AG∥DE
∴DE⊥B₁C，
∵BC=BB₁，B₁E=EC
∴B₁C⊥BE，
∵BE?平面BDE，DE?平面BDEBE∩DE=E，
∴B₁C⊥平面BDE．
分析：（1）取BC中點G，連接AG，EG，欲證直線DE∥平面ABC，只需證明DE平行平面ABC中的一條直線即可，由四邊形ADEG為平行四邊形，可知AG∥DE，AG?平面ABC，DE?平面ABC，問題得證．
（2）取BC的中點G，判斷三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，BB₁⊥平面ABC，再證明B₁C⊥BE，可證得：B₁C⊥平面BDE．
點評：本題主要考查了證明線面平行的方法、空間的線面平行，線線垂直的證明，充分考查了學生的邏輯推理能力，空間想象力，以及識圖能力．