Question

（湖南卷理21）已知函數f(x)=ln²(1+x)-.

(I )  求函數的單調區間;

（Ⅱ）若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數的底數）.求的最大值.

Answer 1

【試題解析】

（Ⅰ）函數的定義域是，

設則

令則

當時，  在（-1，0）上為增函數，

當x＞0時，在上為減函數.

所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以，

函數g(x)在上為減函數.

于是當時，

當x＞0時，

所以，當時，在（-1，0）上為增函數.

當x＞0時，在上為減函數.

故函數的單調遞增區間為（-1，0），單調遞減區間為.

（Ⅱ）不等式等價于不等式由知，

  設則

由（Ⅰ）知，即

所以于是G(x)在上為減函數.

故函數G（x）在上的最小值為

所以a的最大值為