Question

19、已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²（n∈N^*），數列{b_n}為等比數列，且滿足b₁=a₁，2b₃=b₄
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_nb_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）利用數列的前n項和的公式，先求得a₁，后看≥2時，a_n=S_n-S_n-1，求得數列的通項公式，設出等比數列{b_n}的公比，利用2b₃=b₄求得q，利用b₁=a₁求得首項，則等比數列的通項公式可求．
（2）數列{a_nb_n}的前n項和為T_n，然后利用錯位相減法求得T_n．

解答：解：（1）由已知S_n=n²，得a₁=S₁=1
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
所以a_n=2n-1（n∈N^*）
由已知，b₁=a₁=1
設等比數列{b_n}的公比為q，由2b₃=b₄得2q²=q³，所以q=2
所以b_n=2^n-1
（2）設數列{a_nb_n}的前n項和為T_n，
則T_n=1×1+3×2+5×2²++（2n-1）•2^n-1，2T_n=1×2+3×2²+5×2³++（2n-1）•2ⁿ，
兩式相減得-T_n=1×1+2×2+2×2²++2×2^n-1-（2n-1）•2ⁿ（10分）=1+2（2+2²++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ=1+4（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ（11分）=-（2n-3）•2ⁿ-3
所以T_n=（2n-3）2ⁿ+3

點評：本題主要考查了等差數列的性質和等比數列的性質．當數列是由等差數列和等比數列的積構成時，可求得利用錯位相減法求和．