Question

已知關(guān)于x的不等式|x-2|+|x-3|＜a
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式；
（Ⅱ）如果不等式的解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，|x-2|+|x-3|＜2，通過(guò)對(duì)x的范圍分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一次不等式來(lái)解即可；
（Ⅱ）利用分段函數(shù)y=|x-2|+|x-3|=

2x-5(x≥3) 1(2≤x≤3) 5-2x(x＜2)

，可求得y_min，只需a≤y_min即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解（Ⅰ）原不等式|x-2|+|x-3|＜2，
當(dāng)x＜2時(shí)，原不等式化為5-2x＜2，解得x＞

3

2

，
∴

3

2

＜x＜2；
當(dāng)2≤x≤3時(shí)，原不等式化為1＜2，
∴2≤x≤3；
當(dāng)x＞3時(shí)，原不等式化為2x-5＜2，解得x＜

7

2

，
∴3＜x＜

7

2

；
綜上，原不等式解集為{x|

3

2

＜x＜

7

2

}；_{-----------------}（5分）
（Ⅱ）y=|x-2|+|x-3|=

2x-5(x≥3) 1(2≤x≤3) 5-2x(x＜2)

，
當(dāng)x≥3時(shí)，y≥1；
當(dāng)2≤x≤3時(shí)，y=1；
當(dāng)x＜2時(shí)，y＞1，
綜上，y≥1，原問(wèn)題等價(jià)于a≤[|x-2|+|x-3|]_min
∴a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，通過(guò)對(duì)x的范圍分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題．