Question

【題目】(理)某電視臺舉辦的闖關節目共有五關，只有通過五關才能獲得獎金，規定前三關若有失敗即結束，后兩關若有失敗再給一次從失敗的關開始繼續向前闖的機會(后兩關總共只有一次機會)，已知某人前三關每關通過的概率都是，后兩關每關通過的概率都是.

(1)求該人獲得獎金的概率；

(2)設該人通過的關數為X，求隨機變量X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：（1）設Ai（i=1，2，3，4，5）表示該人通過第i關，則該人獲得獎金的概率為P＝P(A1A2A3A4A5)＋P(A1A2A34A5)＋P(A1A2A3A45A5)，即可求得結論；
（2）確定變量的取值，求出相應的概率，即可求隨機變量ξ的分布列及數學期望．

試題解析：

(1)設事件Ai為“第i關通過”，事件A為“獲得獎金”

所以P(A)＝P(A1A2A3A4A5)＋P(A1A2A34A5)＋P(A1A2A3A45A5)

＝()3·()2＋()3·()·()·()＋()3·()·()·()＝．

(2)X的取值為0,1,2,3,4,5．

所以P(X＝0)＝P(1)＝，

P(X＝1)＝P(A12)＝·＝，

P(X＝2)＝P(A1A23)＝··＝，

P(X＝3)＝P(A1A2A344)＝()3()2＝，

P(X＝5)＝P(A)＝，

所以P(X＝4)＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝5)]＝．

所以X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝．