Question

已知(1+x+x2)(x+

1

x3

)n的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，n∈N^*，2≤n≤8，則n=

 

．

Answer 1

分析：先將問題轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得常數(shù)項(xiàng)．轉(zhuǎn)化成方程無解．

解答：解：依題(x+

1

x3

)n對(duì)n∈N^*，2≤n≤8中，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)
∴(x+

1

x3

)n不含常數(shù)項(xiàng)，不含x^-1項(xiàng)，不含x^-2項(xiàng)
(x+

1

x3

)n展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C_n^rx^n-rx^-3r=C_n^rx^n-4r
據(jù)題意知

n-4r=0 n-4r=-1 n-4r=-2

當(dāng)n∈N^*，2≤n≤8時(shí)無解
通過檢驗(yàn)n=5
故答案為5

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)中的等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力和利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)．