Question

如圖，四棱錐的底面是矩形，
底面，P為BC邊的中點，SB與
平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．
（1）求證：平面SAP；
（2）求二面角A－SD－P的大小.          

Answer 1

（1）見解析
（2）二面角A－SD－P的大小為

（1）因為底面，
所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角…………………….……….1分
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=，……………………….2分
又因為AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以．………….…….3分
因為SA⊥底面ABCD,平面ABCD,
所以SA⊥PD,               …………….……………………….…....4分
由于SA∩AP=A    所以平面SAP．…………………………….5分
（2）設Q為AD的中點,連結PQ,       ………………….………6分
由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,則平面SAD⊥平面PAD….7分
因為PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD
過Q作QR⊥SD,垂足為R,連結PR,
由三垂線定理可知PR⊥SD,
所以∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角. …9分
容易證明△DRQ∽△DAS,則
因為DQ= 1，SA=1，，所以….……….10分
在Rt△PRQ中，因為PQ=AB=1，所以………11分
所以二面角A－SD－P的大小為．……………….…….…….12分
或：過A在平面SAP內作,且垂足為H,在平面SAD內作,且垂足為E,連接HE，平面SAP。平面SPD…………7分
∴HE為AE在平面SPD內的射影，∴由三垂線定理得
從而是二面角A－SD－P的平面角……………………………….9分
在中,，在中,，
.        ………………………………….11分
即二面角的大小為……………………………12分
解法二：因為底面，
所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角…………………………………1分
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1
建立空間直角坐標系(如圖)
由已知，P為BC中點.
于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)
……..….2分
（1）易求得,
，..………….…....3分
因為，=0。
所以，
由于AP∩SP=P，所以平面SAP         ………….……………..….…5分
（2）設平面SPD的法向量為
由,得　　解得，
所以                     ……………….…………….……….8分
又因為AB⊥平面SAD，所以是平面SAD的法向量，易得…9分
所以    ….………………….11分
所求二面角的大小為. ……………….……….…… 12分