Question

已知直線過點且與拋物線交于A、B兩點，以弦AB為直徑的圓恒過坐標原點O.

(1)求拋物線的標準方程；
(2)設是直線上任意一點，求證：直線QA、QM、QB的斜率依次成等差數列.

Answer 1

(1)(2)詳見解析.

試題分析：(1)設直線方程為，代入得
設 ，，則有,而 ,
故
即，得，所以拋物線方程為;
(2)由是直線上任意一點，可設 由(1)知 ， ，
∴= , ∵==，
==， 
+=+= 
= = == =，有等差中項的性質可知直線QA、QP、QB的斜率依次成等差數列.
試題解析：(1)設直線方程為，代入得
設 ，，則有       2分 
而 ,
故
即，得，所以拋物線方程為  6分
說明：取過M 點的特殊位置的直線求得拋物線的方程給滿分.
(2)設 由(1)知 ， ，
∴= , ∵==，
==，              9分
+=+= 
= 
= == =     12分
所以直線QA、QP、QB的斜率依次成等差數列.               13分