Question

給出命題：
①函數y=2sin(

π

3

-x)-cos(

π

6

+x)(x∈R)的最小值等于-1；
②函數y=sinπxcosπx是周期為2的奇函數；
③函數y=sin(x+

π

4

)在區間[0，

π

2

]上是單調遞增的；
④函數f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

在（2008，+∞）上恒有f(x)＞

1

2

．
則正確命題的序號是

①

．

Answer 1

分析：利用誘導公式化簡①求出函數的最小值判斷正誤即可；利用二倍角公式化簡②求出函數的周期判斷正誤；區間內求出函數的最值，即可判斷③的正誤；求出函數的最小值判斷④的正誤．

解答：解：對于①，函數y=2sin(

π

3

-x)-cos(

π

6

+x)(x∈R)
所以y=2sin(

π

3

-x)-sin(

π

3

-x)
=-sin(x-

π

3

)，所以函數的最小值為：-1，所以①正確．
對于②，函數y=sinπxcosπx
=

1

2

sin2πx，函數的周期為：1，
所以②不正確．
對于③，函數y=sin(x+

π

4

)在區間[0，

π

2

]，當x=

π

4

時函數取得最大值，
所以③不正確．
對于④，函數f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

在（2008，+∞），?sn²x=0，而-(

2

3

)|x|＜0，所以f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

＜

1

2

，所以④不正確．
故答案為：①．

點評：本題考查三角函數的周期的求法，三角函數的最值以及三角函數的單調性的應用，考查計算能力．