Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，若過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點，且|MN|=8．
求拋物線C的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出焦點坐標，求出直線方程，聯立直線與拋物線方程，利用弦長公式求解即可．

解答： 解：由題可知F(

p

2

，0)，則該直線方程為：y=x-

p

2

代入y²=2px（p＞0）得：x2-3px+

p2

4

=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有x₁+x₂=3p，
∵|MN|=8，∴x₁+x₂+p=8，即3p+p=8，解得p=2
∴拋物線的方程為：y²=4x．

點評：本題考查直線與拋物線方程的應用，弦長公式的應用，考查計算能力．