Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=1，AD=3，且∠ADC=arcsin

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．
求：（1）三棱錐P-ACD的體積；
（2）直線PC與AB所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）欲求三棱錐P-ACD的體積，只需求出三棱錐的底面積和高，因為底面為直角梯形且下底和高都是已知數，根據∠ADC=arcsin

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，可求出上底，所以底面積易求，又因為PA⊥平面ABCD，所以三棱錐的高為PA，代入體積公式即可．
（2）欲求直線PC與AB所成角的大小，需將兩直線平移至一個平面內，可證CE∥AB，在三角形PCE中，計算角PCE的正切值即可得直線PC與AB所成角的正切值

解答：解：（1）做CE⊥AD于E，易得DE=2，∴BC=AE=1
∴△ACD的面積為：S=

1

2

×1×3=

3

2

，∴三棱錐P-ACD的體積V=

1

3

Sh=

1

2

（2）連接PE．
∵AB⊥AD，AB⊥PA，AB⊥平面PAD，則AB⊥PE，
又∵CE∥AB，∴CE⊥PE．
∴∠PCE是直線PC與AB所成的角．
在Rt△PEC中，PE=

2

，CE=1
∴tan∠PCE=

2

，∴∠PCE=arctan

2

即直線PC與AB所成的角大小為arctan

2

．

點評：本題綜合考查了三棱錐體積計算公式，幾何體中線線所成的角，解題時要善于發現空間線面的關系和大小，善于將立體問題轉化為平面問題解決