Question

如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長AB=2，側棱BB₁的長為4，過點B作B₁C的垂線交側棱CC₁于點E，交B₁C于點F．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥平面BED；
（ II）求A₁B與平面BDE所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，可得D、A、B、C、A₁、B₁、
C₁、D₁各點的坐標，進而得到向量的坐標．設E（0，2，t），由解出t=1，得到的坐標，由此得到且，從而得到且，結合線面垂直判定定理可得A₁C⊥平面BED；
（II）根據是平面BDE的一個法向量，由空間向量的夾角公式算出、夾角的余弦，結合空間直線與平面所成角的定義，可得這個余弦值即為A₁B與平面BDE所成的角的正弦值．
解答：解：（ I）如圖，以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸，
建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示，可得
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）…（2分）
設E（0，2，t），則．
∵BE⊥B₁C，
∴可得．解之得t=1，
∴E（0，2，1），且．
又∵，…（4分）
∴
且…（6分）
∴且．
∵BD、BE是平面BDE內的相交直線．
∴平面BDE…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐標系，得
是平面BDE的一個法向量，
又∵，
∴，
因此，可得A₁B與平面BDE所成角的正弦值為…（12分）
點評：本題給出正四棱柱，求證線面垂直并求直線與平面所成角的正弦值，著重考查了利用空間向量研究線面垂直、用空間向量的夾角公式求直線與平面所成角等知識，屬于中檔題．