Question

（2013•唐山一模）己知直線l的斜率為k，它與拋物線y²=4x相交于A，B兩點，F為拋物線的焦點，若

AF

=2

FB

，則|k|=（　�。�

• A．2

  2

• B．

  3

• C．

  2

  4

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：設出直線方程，把直線方程和拋物線方程聯立后得到關于x的一元二次方程，利用根與系數關系得到兩個交點的橫坐標的和與積，由

AF

=2

FB

代入坐標整理后得到直線的斜率與截距間的關系，由兩個向量的模相等，結合拋物線定義可求出兩個交點橫坐標的具體值，代入兩根和的關系式得到直線的斜率與截距的另一關系式，解方程組可求解k的值．

解答：解：設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），與拋物線y²=4x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立

y2=4x y=kx+m

，得k²x²+（2km-4）x+m²=0．
所以△=（2km-4）²-4k²m²=16-16km＞0，即km＜1．
x1+x2=

4-2km

k2

，x1x2=

m2

k2

．
由y²=4x得其焦點F（1，0）．
由

AF

=2

FB

，得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂）．
所以

1-x1=2x2-2① -y1=2y2②

，
由①得，x₁+2x₂=3 ③
由②得，x1+2x2=-

3m

k

．
所以m=-k．
再由

AF

=2

FB

，得|

AF

|=2|

FB

|，
所以x₁+1=2（x₂+1），即x₁-2x₂=1④
聯立③④得x1=2，x2=

1

2

．
所以x1+x2=

4-2km

k2

=

5

2

．
把m=-k代入得

4-2k(-k)

k2

=

5

2

，解得|k|=2

2

，滿足mk=-8＜1．
所以|k|=2

2

．
故選A．

點評：本題考查了拋物線的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，解答的關鍵是利用向量關系得到兩個交點A，B的坐標的關系，同時靈活運用了拋物線的定義，屬中高檔題．