Question

（本題滿分13分）某工廠有214名工人, 現要生產1500件產品, 每件產品由3個A型零件與1個B型零件配套組成, 每個工人加工5個A型零件與3個B型零件所需時間相同. 現將全部工人分為兩組, 分別加工一種零件, 同時開始加工. 設加工A型零件的工人有x人, 在單位時間內每人加工A型零件5k個(k∈N*), 加工完A型零件所需時間為g(x), 加工完B型零件所需時間為h (x).
 (Ⅰ) 試比較與大小, 并寫出完成總任務的時間的表達式；
(Ⅱ) 怎樣分組才能使完成任務所需時間最少?

Answer 1

(Ⅰ)  
(Ⅱ)加工A型零件137人, 加工B型零件77人, 完成任務所需時間最少. 

解析試題分析：
(Ⅰ) 由題意知, A型零件共需要4500個, B型零件共需要1500個,
加工B型零件的工人有214－x人, 單位時間內每人加工B型零件3k個,
所以 
所以                                ……3分
  0＜x＜214,且x∈N*.
∴ 當1≤x≤137(x∈N*)時, g(x)＞h(x);
138≤x≤213(x∈N*)時, g(x)＜h(x).
∴     （ 其中x∈N*).                              ……7分
(Ⅱ) 即求當x為何值時,  f(x)最小.
又為減函數, 為增函數,
而＜1,則x=137時f(x)最小,
即加工A型零件137人, 加工B型零件77人, 完成任務所需時間最少.                       ……13分
考點：本小題主要考查分段函數在實際問題中的應用.
點評：用函數解決實際問題時，首先要看清題目，準確地將實際問題轉化為合適的數學模型，進而用數學知識解決問題，但是解決實際問題時一定要注意實際問題的定義域.