Question

A是由在[1，4]上有意義且滿足如下條件的函數φ（x）組成的集合；
①對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
②存在常數L（0＜L＜1），使得對任意的x₁，x₂∈[1，2]都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=L|x₁-x₂|
（1）設φ(x)=

2x+15

18

，x∈[1，2]，證明：φ（x）∈A；
（2）設φ(x)=

x2+15

18

，x∈[1，2]，是否存在設x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），如存在，求出所有的x₀，如不存在請說明理由！

Answer 1

分析：（1）先根據x的范圍求出φ（2x）的取值范圍，判定是否滿足φ（2x）∈（1，2），然后判定是否對任意的x₁，x₂∈[1，2]都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=L|x₁-x₂|，從而得到結論；
（2）先假設存在，根據x₀=φ（2x₀）建立方程，然后解方程，最后求出滿足條件的x₀，從而得到結論．

解答：證明：（1）因為x∈[1，2]，所以φ（2x）=

4x+15

18

，x∈[1，2]，

19

18

≤φ（2x）≤

23

18

∴φ（2x）∈（1，2）；
對任意的x₁，x₂∈[1，2]，
|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=|

4x1+15

18

-

4x2+15

18

|=

2

9

||x₁-x₂|
取L=

2

9

∈（0，1），使|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=L||x₁-x₂|成立
故φ（x）∈A；
（2）存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），
即x₀=

4x02+15

18

，x₀∈（1，2），
得4x₀²-18x₀+15=0，解得x₀=

9± 21

4

經檢驗x₀=

9- 21

4

∈（1，2），
所以存在x₀=

9- 21

4

∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀）．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及函數的值域等有關知識，同時考查了計算能力，屬于中檔題．