Question

（2012•成都一模）已知函數f(x)=

1

2

x2-mln

1+2x

+mx-2m，m＜0．
（I）當m=-1時，求函數y=f(x)-

x

3

的單調區間；
（II）已知m≤-

e

2

（其中e是自然對數的底數），若存在實數x0∈(-

1

2

，

e-1

2

]，使f（x₀）＞e+1成立，證明：2m+e+l＜0；
（III）證明：

n

k=1

8k-3

3k2

＞ln

(n+1)(n+2)

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數的運算法則即可求出其單調區間；
（Ⅱ）將已知m≤-

e

2

（其中e是自然對數的底數），若存在實數x0∈(-

1

2

，

e-1

2

]，使f（x₀）＞e+1成立，等價于已知m≤-

e

2

，當x∈(-

1

2

，

e-1

2

]時，使f（x）_max＞e+1成立，先求出函數f（x）的最大值，進而即可得出結論．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當m=-1時，函數y=f（x）-

x

3

在區間[-

1

6

，1]上單調遞減，所以f（x）-

x

3

＜f（0）．可得

4

3

x-

1

2

x2＞ln

1+2x

．當n∈N^*時，

1

n

∈(0，1]，得

8

3n

-

1

n2

＞ln(1+

2

n

)，即

8n-3

3n2

＞ln

n+2

n

．利用上式即可證得結論．

解答：解：（Ⅰ）當m=-1時，f（x）=

1

2

x2+ln

1+2x

-x+2，∴y=

1

2

x2+ln

1+2x

-

4x

3

+2．
∵

1+2x

≥0，∴x≥-

1

2

，∴此函數的定義域為{x|x＞-

1

2

}．
∵y^′=x+

1

1+2x

-

4

3

=

(x-1)(6x+1)

3(1+2x)

．
令y^′=0，得x=-

1

6

或x=1．
又x＞-

1

2

，當-

1

2

＜x＜-

1

6

，或x＞1時，y^′＞0；當-

1

6

＜x＜1時，y^′＜0．
∴函數y=f（x）-

4

3

x在區間(-

1

2

，-

1

6

)或（1，+∞）上單調遞增；在區間(-

1

6

，1)上單調遞減．
．（Ⅱ）∵已知m≤-

e

2

（其中e是自然對數的底數），若存在實數x0∈(-

1

2

，

e-1

2

]，使f（x₀）＞e+1成立，
∴上述問題等價于已知m≤-

e

2

，當x∈(-

1

2

，

e-1

2

]時，使f（x）_max＞e+1成立，
下面求當x∈(-

1

2

，

e-1

2

]時，函數求（x）的最大值．
∵m≤-

e

2

，∴0＜

e-1

2

≤-m-

1

2

．
∵f′(x)=x-

m

1+2x

+m=

2x(x+m+ 1 2 )

1+2x

，
∴令f^′（x）=0解得x₁=0，x2=-m-

1

2

．
當-

1

2

＜x＜0時，f^′（x）＞0；當0＜x≤

e-1

2

時，f^′（x）＜0．
∴函數f（x）在區間(-

1

2

，0)上單調遞增；在區間(0，

e-1

2

]上單調遞減．
故函數f（x）在x=0時取得最大值，且f（0）=-2m，
∴-2m＞e+1，即2m+e+1＜0．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當m=-1時，函數y=f（x）-

x

3

在區間[-

1

6

，1]上單調遞減，
∴函數y=f（x）-

x

3

在（0，1]上為減函數．
又函數y=f（x）-

x

3

在x=0處連續，∴f（x）-

x

3

＜f（0）．
即

1

2

x2+ln

1+2x

-

4

3

x+2＜2，亦即

1

2

x2+ln

1+2x

-

4

3

x＜0．
∴

4

3

x-

1

2

x2＞ln

1+2x

．
∴當x∈（0，1]時，有

8

3

x-x2＞ln(1+2x)．
當n∈N^*時，

1

n

∈(0，1]，
∴

8

3n

-

1

n2

＞ln(1+

2

n

)，即

8n-3

3n2

＞ln

n+2

n

．
∴

n

k=1

8k-3

3k2

＞ln

3

1

+ln

4

2

+ln

5

3

+…+ln

n+2

n

=ln

(n+1)(n+2)

2

，
故結論成立．

點評：本題綜合考查了利用導數求函數的單調區間、最值及證明不等式，熟練求導和善于轉化及利用已證結論是解決問題的關鍵．