Question

如圖，已知圓O外有一點P，作圓O的切線PM，M為切點，過PM的中點N，作割線NAB，交圓于A、B兩點，連接PA并延長，交圓O于點C，連續PB交圓O于點D，若MC=BC．
（1）求證：△APM∽△ABP；
（2）求證：四邊形PMCD是平行四邊形．

Answer 1

分析：（I）由切割線定理，及N是PM的中點，可得PN²=NA•NB，進而

PN

NB

=

NA

PN

，結合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，則∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的補角相等可得∠MAP=∠PAB，進而得到△APM∽△ABP
（II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圓O的切線，可證得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四邊形的判定定理得到四邊形PMCD是平行四邊形．

解答：證明：（Ⅰ）∵PM是圓O的切線，NAB是圓O的割線，N是PM的中點，
∴MN²=PN²=NA•NB，
∴

PN

NB

=

NA

PN

，
又∵∠PNA=∠BNP，
∴△PNA∽△BNP，
∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．
∵MC=BC，
∴∠MAC=∠BAC，
∴∠MAP=∠PAB，
∴△APM∽△ABP…（5分）
（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，
∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，
∴PM∥CD．
∵△APM∽△ABP，
∴∠PMA=∠BPA
∵PM是圓O的切線，
∴∠PMA=∠MCP，
∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，
∴MC∥PD，
∴四邊形PMCD是平行四邊形．…（10分）

點評：本題考查的知識點是切割線定理，圓周角定理，三角形相似的判定與性質，平行四邊形的判定，熟練掌握平面幾何的基本定理是解答本題的關鍵．