Question

給出下列命題，其中正確命題的序號是           （填序號）。

（1）已知橢圓兩焦點為，則橢圓上存在六個不同點,使得為直角三角形；

（2）已知直線過拋物線的焦點，且與這條拋物線交于兩點，則的最小值為2；

（3）若過雙曲線的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為，為坐標原點，則；

（4）已知⊙⊙則這兩圓恰有2條公切線。

 

Answer 1

【答案】

（ 1） （ 3）（ 4）

【解析】

試題分析：橢圓的兩個焦點為F₁（-2，0），F₂（2，0），當F₁M垂直于x 軸時，這樣的點M有2個． 當MF₂垂直于x 軸時，這樣的點M有2個．當∠F₁MF₂  為直角時，點M恰是橢圓短軸的端點（0，，2），這樣的點M有2個，綜上，這個橢圓上存在六個不同的點M，使得△F₁MF₂為直角三角形，故①正確．

因為過拋物線y=2x²的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為拋物線的通徑2p，由拋物線y=2x²的方程即x²=y 知，p=，2p=，則|AB|的最小值為，故②不正確．

因為雙曲線的一個焦點為（c，0），一條漸近線的方程 y=，故垂線方程為 y-0=-（x-c），它與漸近線 y= 的交點M（），所以MO=a，故③正確．

因為⊙C₁：x²+y²+2x=0，即  （x+1）²+y²=1，表示圓心為（-1，0），半徑等于1的圓；⊙C₂：x²+y²+2y-1=0 即，x²+（y+1）²=2，表示圓心為（0，-1），半徑等于的圓．兩圓的圓心距等于，大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交，故兩圓的公切線有2條，故④正確．

故答案為：①③④．

考點：橢圓的簡單性質；拋物線的簡單性質；雙曲線的簡單性質；圓與圓的位置關系。

點評：掌握圓錐曲線的性質是解題的前提，靈活應用圓錐曲線的性質是解題的關鍵。屬于中檔題。