Question

已知實數a滿足1＜a≤2，設函數f （x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+ax．
（Ⅰ） 當a=2時，求f （x）的極小值；
（Ⅱ） 若函數g（x）=4x³+3bx²-6（b+2）x （b∈R） 的極小值點與f （x）的極小值點相同，求證：g（x）的極大值小于等于10．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將a=2代入到解析式中，并求導．令f′（x）=0，求出極值點，并列表判斷極大值極小值點．
（Ⅱ）一方面，利用（Ⅰ）的結論，找出f（x）的極小值點a，即為g（x）的極小值點．另一方面，對g（x）求導，求出極小值點-

b+2

2

．再建立等式，即a=-

b+2

2

，得到a，b的關系式．由a的范圍算出極大值g（1）的范圍，從而得證．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）．
列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以，f（x）的極小值為f（2）=

2

3

．
（Ⅱ）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
由于a＞1，
所以f（x）的極小值點x=a，則g（x）的極小值點也為x=a、
而g′（x）=12x²+6bx-6（b+2）=6（x-1）（2x+b+2），
所以a=-

b+2

2

，
即b=-2（a+1）．
又因為1＜a≤2，
所以g（x）_極大值=g（1）
=4+3b-6（b+2）
=-3b-8
=6a-2≤10．
故g（x）的極大值小于等于10．

點評：在高中階段，導數是研究函數性質的重要而有效的工具之一，包括函數的單調性，極值，最值等，本題就是利用導函數研究函數的極值．近兩年的高考題中，對導數部分的考查是越來越常見，其重要性也不言而喻．