Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ACD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）求證：PA∥平面EDB；
（2）求證：PF=

1

3

PB；
（3）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連結AC，BD，交于點O，連結OE，由已知得OE∥AP，由此能證明PA∥平面EDB．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PF=

1

3

PB．
（3）求出平面DBP的法向量和平面PBC的法向量，利用向量法能求出二面角C-PB-D的大小．

解答： （1）證明：連結AC，BD，交于點O，
∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中點，
連結OE，∵E是PC中點，
∴OE∥AP，
∵AP不包含于平面EDB，OE?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（2）證明：以D為原點，DA為x軸，
DC為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標系，
設PD=DC=2，
則P（0，0，2），B（2，2，0），
C（0，2，0），E（0，1，1），

PB

=（2，2，-2），
設F（a，b，c），

PF

=λ

PB

，
則（a，b，c-2）=（2λ，2λ，-2λ），
∴F（2λ，2λ，2-2λ），

EF

=（2λ，2λ-1，1-2λ），
∵EF⊥PB交PB于點F，
∴

EF

•

PB

=4λ+4λ-2-2+4λ=0，
解得λ=

1

3

，
∴PF=

1

3

PB．
（3）解：

DP

=（0，0，2），

DB

=（2，2，0），
設平面DBP的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • DP =2z=0 n • DB =2x+2y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，0）．

PB

=（2，2，-2），

PC

=(0，2，-2)，
設平面PBC的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • PB =2a+2b-2c=0 m • PC =2b-2c=0

，取b=1，得

m

=(0，1，1)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

-1

2 × 2

=-

1

2

，
∴二面角C-PB-D的大小為60°．

點評：本題考查PA∥平面EDB的證明，考查PF=

1

3

PB的證明，考查二面角C-PB-D的大小的求法，解題時要注意向量法的合理運用．