Question

如圖，某觀測站在港口A的南偏西40°方向的C處，測得一船在距觀測站31海里的B處，正沿著從港口出發的一條南偏東20°的航線上向港口A開去，當船走了20海里到達D處，此時觀測站又測得CD等于21海里，問此時船離港口A處還有多遠？

Answer 1

分析：在△BDC中，先由余弦定理可得，可求cos∠CDB，進而可求sin∠CDB，由三角形的內角和定理可得sinα，再在△ACD中，由正弦定理求出AD的長；

解答：解：由題∠CAB=60°，設∠ACD=α，∠CDB=β，（1分）
在△CDB中，由余弦定理得cosβ=

202+212-312

2×20×21

=-

1

7

．（4分）
∴sinβ=

4 3

7

，
∴sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-cosβsin60°=

5 3

14

（7分）
在△ACD中，
由正弦定理得

21

sin60°

=

AD

sinα

，
∴AD=

21sinα

sin60°

=15，（11分）
即船離港口A處還有15海里．（12分）

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理、兩角差的正弦公式及三角形的內角和定理在實際中的應用，解決實際的問題的關鍵是要把題目中所提供的數據轉化成數學圖形中的長度（角度），然后根據相應的公式來解決問題．