Question

如圖幾何體中，四邊形為矩形，，，，，.

（1）若為的中點，證明：面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）見解析；（2）.

試題分析：（1）連接交于點，得知為的中點，連接
根據點為中點，利用三角形中位線定理，得出，進一步得到
面.
（2）首先探究幾何體中的線面、線線垂直關系，創造建立空間直角坐標系的條件，應用“向量法”，確定二面角的余弦值.
解答本題的關鍵是確定“垂直關系”，這也是難點所在，平時學習中，應特別注意轉化意識的培養，能從“非規范幾何體”，探索得到建立空間直角坐標系的條件.
試題解析：（1）連接交于點，則為的中點，連接
因為點為中點，所以為的中位線，
所以                       2分
面，面，
所以面       4分
（2）取中點，的中點，連接，則，
所以共面
作于，于，則且
，
和全等，
和全等，
，為中點，
又，，面
，面                      6分

以為原點，為軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，設，則，
，
設面的法向量
，
由，令
                               8分
設面的法向量
，
由，令
                             10分

設二面角的平面角為，
則              12分