Question

已知斜率為1的直線l與雙曲線相交于B、D兩點，且BD的中點為M（1，3）．
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）若雙曲線C的右焦點坐標為（3，0），則以雙曲線的焦點為焦點，過直線g：x﹣y+9=0上一點M作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點M應在何處？并求出此時的橢圓方程．

Answer 1

解：（1）由題設知：l的方程為y=x+2，代入雙曲線，
并化簡得：（b²﹣a²）x²﹣4a²x﹣4a²﹣a²b²=0，（*）
設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則，，
由M（1，3）為BD的中點，知，
故，即b²=3a²．故c=2a，∴e=2．
（2）雙曲線的左、右焦點為F₁（﹣3，0），F₂（3，0），
點F₁關于直線g：x﹣y+9=0  ①的對稱點F的坐標為（﹣9，6），
直線FF₂的方程為x+2y﹣3=0， ②
解方程組①②得：交點M（﹣5，4），
此時|MF₁|+|MF₂|最小，
所求橢圓的長軸，
∴a=3，
∵c=3，
∴b²=36，
故所求橢圓的方程為．