Question

【題目】已知橢圓的方程為，是橢圓上的一點，且在第一象限內，過且斜率等于-1的直線與橢圓交于另一點，點關于原點的對稱點為．

（1）證明：直線的斜率為定值；

（2）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用點差法即可求證直線BD的斜率為定值；

（2）設直線BD的方程，由S△ABD＝2S△OBD，將直線BD的方程代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式及基本不等式即可求得△ABD面積的最大值．

（1）設，，則，直線的斜率，

由，兩式相減，，

由直線，所以，

直線的斜率為定值.

（2）連結，∵，關于原點對稱，所以，

由（1）可知的斜率，設方程為.

∵在第三象限，∴且，

到的距離，

由，整理得：，

∴，，

∴

，

.

∴當時，取得最大值.