Question

已知函數f（x）=x|x-4|，
（Ⅰ）作出函數的簡圖，寫出函數y=f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）求f（x）在閉區間[0，a]上最大值；
（Ⅲ）若函數f（x）在開區間（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別寫出m、n的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=x|x-4|=

x(x-4)，x≥4 x(4-x)，x＜4

，作出簡圖，由圖即可寫出函數y=f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）結合函數的簡圖，對a分0＜a≤2，2＜a≤2+2

2

與a＞2+2

2

的討論，利用函數的單調性與最值及可求得答案；
（Ⅲ）依題意，數形結合，即可求得出m、n的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=x|x-4|=

x(x-4)，x≥4 x(4-x)，x＜4

由圖象可知，單調遞增區間為（-∞，2]，[4，+∞）（開區間不扣分）…（6分）
（Ⅱ）由圖可知，
當0＜a≤2時，f（x）在區間[0，a]上單調遞增，故f（x）_max=f（a）=4a-a²；
當a＞4時，由f（a）=f（2）得：a²-4a=f（2）=4，解得a=2+2

2

，
即2＜a≤2+2

2

時，f（x）在區間[0，a]上的最大值為f（2）=f（a）=4；
當a＞2+2

2

時，f（x）在區間[0，a]上單調遞增，故f（x）_max=f（a）=a²-4a，
綜上所述，f（x）_max=

4a-a2，0＜a≤2 4，2＜a≤2+2 2 a2-4a，a＞2+2 2

…（12分）
（Ⅲ）∵函數f（x）在開區間（m，n）上既有最大值又有最小值，
由圖知，0≤m＜2，4＜n≤2+2

2

．…（16分）

點評：本題考查帶絕對值的函數，考查分類討論思想與等價轉化思想、數形結合思想的綜合應用，屬于難題．